概要:如:P150习题3.1 4:已知 α ,β都是锐角,Cosα = , Cos(α+β) = , 求Cosβ的值。 5:已知Sin(300 +α) = , 600 α 1500 求Cosα的值。 只要进行恰当的角度变换,这两个问题实质上与例题一样,因为β=(α+β) –α,α = (300+α) -300 ,也就是已知两角的正、余弦值,求这两角的差的余弦值;但如果不善于作分析,或受定势思维的负迁移,有的学生把Cos(α+β)展开来求Cosβ,其结果都难以成功。学习等差、等比数列时,学生对证明等差或等比数列的问题上不会表述,大部分都只会列举。究其原因:教材只引导学生归纳了定义的文字表达形式,教学上很有必要补充式子符号表达,即:若数列满足),则数列为等差(等比)数列。然后才能较好地完成如的例3和的例4。认识数学知识的本质特征,理清思维程序并恰当表述是良好思维品质
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如:P150习题3.1
4:已知 α ,β都是锐角,Cosα = , Cos(α+β) = , 求Cosβ的值。
5:已知Sin(300 +α) = , 600 α 1500 求Cosα的值。
只要进行恰当的角度变换,这两个问题实质上与例题一样,因为β=(α+β) –α,α = (300+α) -300 ,也就是已知两角的正、余弦值,求这两角的差的余弦值;但如果不善于作分析,或受定势思维的负迁移,有的学生把Cos(α+β)展开来求Cosβ,其结果都难以成功。学习等差、等比数列时,学生对证明等差或等比数列的问题上不会表述,大部分都只会列举。究其原因:教材只引导学生归纳了定义的文字表达形式,教学上很有必要补充式子符号表达,即:若数列满足),则数列为等差(等比)数列。然后才能较好地完成如的例3和的例4。认识数学知识的本质特征,理清思维程序并恰当表述是良好思维品质的基本要求。
(2)利用例、习题的联系性,有效训练学生思维的深刻性和批判性
数学知识由纷繁复杂的客观世界抽象而来,思维的深刻性和批判性也是学习数学知识的必要条件。很多教师都有一个发现:在学习单个知识时,学生似乎学得不错,但学完了多个知识或一个系统后,却变成简单的题目都不会,这除了综合能力不高外,还与平时不作归类整理、没有把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体有关。二倍角公式的理解就不能只知道2α是α的二倍角,类似的:4α是2α的二倍,α是的二倍,如P146 例5:已知Sin= , , 求4的三角函数值。
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分析:由,两次运用二倍角公式;又如P152 例1:Cosα=2Cos 2 - 1 = 1 – 2Sin2
Cos 2 = , Sin2 =
tan2 =
这实际上是二倍角公式的逆向运用,得到的半角公式(或降幂公式)。有了对例题的深刻理解就能解决一类问题,如求的值;化简等。
通过变式、逆用、一题多解等训练思维的深度,引导学生不满足表面知识,能深入钻研问题,探求各种知识的联系,从而找到解决问题的本质和规律。在新课程的教材中的确十分注意挖掘数学知识的内在联系,如《数学5》学习等差数列时把通项公式与一次函数联系,前n项和公式与二次函数联系,等比数列的通项与指数函数联系;学习一元二次不等式与二次函数和一元二次方程联系,注意相关内容的前后联系,使学生加深对所学知识的系统认识,促进思维的深刻性。
不迷信书本和老师,敢于主动、独立、批判的探讨问题也是当代创新人才的思维品质。在教学上要鼓励学生敢于提问、敢于发表自己的不同观点,《数学4必修》习题3.1第8题,在 △ABC中 ,,求CosC值。我在批改作业时,没有考究教材参考资料提供的答案(实际上只有),结果把正误答案颠倒。发现错误后,我主动向全班同学道歉,并表扬了敢于坚持真理的同学。及时提出
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